Еще об Ахилле и черепахе

Вопрос 1.

Допустим, у нас есть ящик и бесконечно много шаров. В 11.00 мы кладем в ящик два шара. В 11.30 один шар вынимаем и кладем два шара. В 11.45 снова один шар вынимаем и кладем два шара. И так далее: делим время до полудня пополам, вынимаем один шар и кладем два.

Вопрос: сколько шаров окажется в ящике в полдень?

Ответ кажется очевидным – бесконечно.

 

Тогда попробуем ответить на

 

Вопрос 2.

У нас есть ящик и бесконечно много шаров, которые перенумерованы натуральными числами. В 11.00 мы кладем в ящик два шара: №1 и №2. В 11.30 шар №1 вынимаем и кладем шары №3 и №4. В 11.45 вынимаем шар №2 и кладем шары №5 и №6. И так далее: на i-ом шаге вынимаем (i-1)-ый шар и кладем шары 2i-1 и 2i.

Вопрос: сколько шаров окажется в ящике в полдень? Если там будет хотя бы один шар, то каков его номер?

По мотивам:
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе , гл.5, пример 8